仿射变换

编辑:辣椒网互动百科 时间:2020-06-02 05:55:42
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在几何上定义为两个向量空间之间的一个仿射变换或者仿射映射(来自拉丁语,affine,“和。..相关”)由一个线性变换(运用一次函数进行的变换)接上一个平移组成。
中文名
仿射变换
外文名
affine
组    成
由一个线性变换接上一个平移
 描述
二维仿射变换的功能

目录

仿射变换原理

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在有限维的情况,每个仿射变换可以由一个矩阵A和一个向量b给出,它可以写作A和一个附加的列b。一个仿射变换对应于一个矩阵和一个向量的乘法,而仿射变换的复合对应于普通的矩阵乘法,只要加入一个额外的行到矩阵的底下,这一行全部是0除了最右边是一个1,而列向量的底下要加上一个1。
AffineTransform类描述了一种二维仿
仿射变换流程图 仿射变换流程图
射变换的功能,它是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换,保持二维图形的“平直性”(译注: straightness,即变换后直线还是直线不会打弯,圆弧还是圆弧)和“平行性”(译注:par
常用的仿射变换:旋转、倾斜、平移、缩放 常用的仿射变换:旋转、倾斜、平移、缩放
allelness,其实是指保持二维图形间的相对位置关系不变,平行线还是平行线,而直线上点的位置顺序不变,另特别注意向量间夹角可能会发生变化。)仿射变换可以通过一系列的原子变换的复合来实现,包括:平移(Translation)、缩放(Scale)、翻转(Flip)、旋转(Rotation)和错切(Shear)。
此类变换可以用一个3×3的矩阵来表示,其最后一行为(0, 0, 1)。该变换矩阵将原坐标(x, y)变换为新坐标(x', y'),这里原坐标和新坐标皆视为最末一行为(1)的三维列向量,原列向量左乘变换矩阵得到新的列向量:

仿射变换示例

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几种典型的仿射变换:
public static AffineTransform getTranslateInstance(doubl
仿射变换-例 仿射变换-例
e tx, double ty)
平移变换,将每一点移动到(x+tx, y+ty),变换矩阵为:
[ 1 0 tx ]
[ 0 1 ty ]
[ 0 0 1 ]
(译注:平移变换是一种“刚体变换”,rigid-body transformation,中学学过的物理,都知道啥叫“刚体”吧,就是不会产生形变的理想物体,平移当然不会改变二维图形的形状。同理,下面的“旋转变换”也是刚体变换,而“缩放”、“错切”都是会改变图形形状的。)
public static AffineTransform getScaleInstance(double sx, double sy)
缩放变换,将每一点的横坐标放大(缩小)至sx倍,纵坐标放大(缩小)至sy倍,变换矩阵为:
[ sx 0 0 ]
[ 0 sy 0 ]
[ 0 0 1 ]
当sx=sy时,称为尺度缩放,sx不等于sy时,这就是我们平时所说的拉伸变换。
public static AffineTransform getShearInstance(double shx, double shy)
剪切变换,变换矩阵为:
[ 1 shx 0 ]
[ shy 1 0 ]
[ 0 0 1 ]
相当于一个横向剪切与一个纵向剪切的复合
[ 1 0 0 ][ 1 shx 0 ]
[ shy 1 0 ][ 0 1 0 ]
[ 0 0 1 ][ 0 0 1 ]
(译注:“剪切变换”又称“错切变换”,指的是类似于四边形不稳定性那种性质,街边小商店那种铁拉门都见过吧?想象一下上面铁条构成的菱形拉动的过程,那就是“错切”的过程。)
public static AffineTransform getRotateInstance(double theta)
典型的仿射变换-平移变换 典型的仿射变换-平移变换
典型的仿射变换-缩放变换 典型的仿射变换-缩放变换
典型的仿射变换-剪切变换 典型的仿射变换-剪切变换
典型的仿射变换-旋转变换 典型的仿射变换-旋转变换
典型的仿射变换-旋转变换 典型的仿射变换-旋转变换
 

仿射变换相关例子

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旋转变换1,目标图形围绕原点逆时针旋转theta弧度,变换矩阵为:
[ cos(theta) -sin(theta) 0 ]
[ sin(theta) cos(theta) 0 ]
[ 0 0 1 ]
public static AffineTransform getRotateInstance(double theta, double x, double y)
旋转变换2,目标图形以(x, y)为轴心逆时针旋转theta弧度,变换矩阵为:
[ cos(theta) -sin(theta) x-x*cos+y*sin]
[ sin(theta) cos(theta) y-x*sin-y*cos ]
[ 0 0 1 ]
相当于两次平移变换与一次原点旋转变换的复合:
[1 0 x][cos(theta) -sin(theta) 0][1 0- x]
[0 1 y][sin(theta) cos(theta) 0][0 1 -y]
[0 0 1 ][ 0 0 1 ][0 0 1]
这里是以空间任一点为圆心旋转的情况。
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